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\begin{document}
\title{Lineare Algebra II\\ Zusammenfassung}
\author{Michael Jaeger}
\maketitle

%=====================================
\section{"`B"urgerliche Vektorrechnung"�}
%=====================================

Es sei $\mathbb{E}^3$ der 3-dimensionale Euklidische Raum und
$V=T(\mathbb{E})$ der Vektorraum der Translationen von $\mathbb{E}^3$.
\begin{type}
\item[Skalarprodukt] Speziell im $\mathbb{R}^n$ gibt es z.B.
$$\forall v,w\in V: (v,w):= \| v\|\cdot\| w\|\cdot\cos\varphi\quad(\in\mathbb{R})$$
Allgemein gilt f"ur ein Skalarprodukt:
\begin{enumerate}
\item $(v,w)=(w,v)$ (Symmetrie)
\item $(\alpha v,w)=\alpha(v,w)\quad\forall\alpha\in\mathbb{R}$
(Bilinearit"at)
\item $(v+v',w)=(v,w)+(v',w)$ (Bilinearit"at)
\end{enumerate}
Es ist $\| w\|\cdot\cos\varphi$ die L"ange der Projektion von $w$ auf
$v$. Das Skalarprodukt ist positiv orientiert, und es gilt
\begin{itemize}
\item $(v,w)=0\Leftrightarrow v=0$ oder $w=0$ oder $\varphi=
\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}$.
\item $(v,v)=\| v\|^2\quad ,\quad (v,v)=0\Leftrightarrow v=\vec{0}$
\item Man kann jeden Vektor $v\neq\vec{0}\in V$ schreiben als
$\| v\| \cdot\frac{v}{\|v\|}$. Wenn $u\in V$ ein Einheitsvektor
ist, dann sind seine Koordinaten $((u,e_1),(u,e_2),(u,e_3)=
(\cos\varphi_1,\cos\varphi_2,\cos\varphi_3)$ mit $\Sigma_{i=1}^{3}\cos^2\varphi_i=1$.
\end{itemize}

\item[Positiv orientiert]
Die Basis $a,b,c$ von $T(\mathbb{E})$ heisst positiv orientiert,
wenn gilt: "`Dreht man $a$ um weniger als $\pi$ nach $b$, dann r"uckt
eine mitgedrehte Rechtsschraube in den von $c$ anvisierten Halbraum
vor."�

\item[Vektorprodukt]
Seien $a,b\in V=T(\mathbb{E}^3)$. Dann definiere das Produkt
$a\times b\in V$ wie folgt:
\begin{enumerate}
\item $a\times b$ ist senkrecht zu $a$ und $b$
\item $\| a\times b\|=\| a\|\cdot\| b\|\cdot\sin\varphi$
\item $(a,b,a\times b)$ ist positiv orientiert (nur sinnvoll,
wenn $a,b$ linear unabh"angig)
\end{enumerate}
Eigenschaften von $a\times b$:
\begin{enumerate}
\item $a\times b=0\Leftrightarrow a=\vec{0}$ oder $b=\vec{0}$ oder
$\varphi=0,\pi$
\item $\| a\times b\|=$Fl"ache des von $a,b$ aufgespannten 
Parallelogramms
\item $b\times a=-a\times b$ insbes. $a\times a=\vec{0}$
\item $e_1\times e_2=e_3$, $e_2\times e_3=e_1$ und $e_2\times e_1=-e_3$
etc.
\item $(\lambda\cdot a)\times b=\lambda \cdot(a\times b)\quad
\lambda\in\mathbb{R}$
\item $a\times(b+c)=a\times b+a\times c$
\item Koordinatenformel: $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\times
(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=(\alpha_2\beta_3-\alpha_3\beta_2,
\alpha_3\beta_1-\beta_3\alpha_1,\alpha_1\beta_2-\alpha_2\beta_1)$
\end{enumerate}

\item[Spatprodukt]
Auch gemischtes Produkt:
$$(a,b,c):=(a\times b,c)$$
Also ist:
$\mid(a,b,c)\mid=\mid(a\times b,c)\mid=\mid\| a\times b\|\cdot
\| c\|\cdot\cos\varphi\mid=\mid$Volumen des von $a,b,c$ aufgespannten
Parallelotops$\mid$ \\
Dabei ist 
$$(a,b,c)=\begin{cases}+\text{Vol.}&a,b,c\text{ pos. orientiert}\\
-\text{Vol.}&a,b,c\text{ neg. orientiert}\end{cases}$$
Es gilt also: $\left( (a\times b),c\right)=(c\times a,b)\ldots$
$$\left( (\alpha\times\beta),\gamma\right)=(\alpha,\beta,\gamma)
\Leftrightarrow
\left(\left(
\begin{pmatrix}\alpha_2 & \beta_2 \\ \alpha_3 & \beta_3 \end{pmatrix},
-\begin{pmatrix}\alpha_1 & \beta_1 \\ \alpha_3 & \beta_3 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix}\alpha_1 & \beta_1 \\ \alpha_2 & \beta_2 \end{pmatrix}
\right),\left(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\right)\right)=
\begin{vmatrix}\alpha_1 & \beta_1 & \gamma_1 \\ 
\alpha_2 & \beta_2 & \gamma_2 \\
\alpha_3 & \beta_3 & \gamma_3 \end{vmatrix}$$

\item[Grassmann-Identit"at]
$$x=a\times(b\times c) $$
Es gilt:
\begin{enumerate}
\item $x$ senkrecht zu $b\times c$, also $x=\lambda b+\mu c$
\item $(x,a)=0 \Rightarrow\lambda=\tau(a,c)$ $\mu=\tau(a,b)$
f"ur ein $\tau\in\mathbb{R}$. Es ist also:
$$x=\tau\left((a,c)b-(a,b)c\right),$$
wobei $\tau$ auch $1$ sein k"onnte ($\Rightarrow a\times(b\times
c)=(a,c)\cdot b -(a,b)\cdot c$).
\end{enumerate}

\item[Jacobi-Identit"at]
$$a\times(b\times c)+b\times(c\times a)+c\times(a\times b)=\vec{0}$$

\item[Lagrange-Identit"at]
$$(a\times b,c\times d)=(a,c)(b,d)-(a,d)(b,c)$$
\item[Weitere Identit"aten]
$$(a\times b)\times(c\times d)=(c,d,a)b-(c,d,b)a$$
$$(a\times b,b\times c,c\times a)=(a,b,c)^2$$
\end{type}

%----------------------------------
\subsection{Euklidische Vektorr"aume}
%----------------------------------

\begin{type}
\item[Bilinearform]
$F:V\times V\rightarrow K$ mit:
\begin{itemize}
\item $F(\alpha v+\alpha' v',w)=\alpha F(v,w)+\alpha' F(v',w)$ und
\item $F(v,\beta w+\beta' w)=\beta F(v,w)+\beta' F(v,w')\quad\forall \alpha,
\alpha',\beta,\beta'\in K,\quad v,v',w,w'\in V$.
\end{itemize}
$F$ ist durch die Matrix $c=\left(F(v_i,v_j)\right)_{i,j}$ bestimmt
(wenn $v_1,\ldots,v_n$ eine Basis ist). 

\item[$GL_n$]
$GL_n=\{A\mid A\in\mathbb{M}_n\text{ mit }A\text{ ist regul"ar}\}$

\item[Kronecker Symbol $\delta$]
F"ur das Kroneckersymbol gilt: 
$ \delta_{ij}=\begin{cases}1 & i=j \\ 0 & i\neq j\end{cases} $
\item[Basistransformation]
Ziel ist die Transformation einer Basis $\{ v_1,\ldots,v_n\}$ in
eine neue Basis $\{v_1',\ldots,v_n'\}$, wobei gilt
$$v_k'=\Sigma_i \tau_{ik}v_{i} \quad T=(\tau_{ik})\in GL_n(K)$$
Es ist also $(c')_{k,l}=\Sigma_{i,j}\tau_{ik}c_{ij}\tau_{jl}$ und damit
$$c'=T^t cT$$
Jede Matrix $c\in\mathbb{M}_n(K)$ definiert bzgl. einer Basis
$v_1,\ldots,v_n$ eine bilineare Abbildung. \\
Ausserdem ist
$$(\Sigma_{i=1}^{n}\alpha_i v_i,\Sigma_{j=1}^{n}\beta_j
v_j)=\Sigma_{i,j=1}^{n}\alpha_i\beta_j$$
das Standard-Skalarprodukt im $\mathbb{R}^n,(x,y)=\Sigma_{i=1}^{n}x_i y_i$
mit Matrix $E_n=(\delta_{ij})$. Also ist auch jede Matrix der Form $c=T^t
T$ mit
$T\in GL_n(\mathbb{R})$ die Matrix eines Skalarproduktes.

\item[$c\sim c'$]
$c$ und $c'$ definieren dieselbe Bilinearform bzgl. zwei Basen
$\Leftrightarrow$ Es gibt eine $T\in GL_n(K)$ mit $c'=T^t c T$ \\
$\sim$ ist "Aquivalenzrelation:
\begin{itemize}
\item $c\sim c\quad(c=E_n^t c E_n)$
\item $c\sim c'\Rightarrow c'\sim c$
\item $c\sim c'\sim c''\Rightarrow c\sim c''$
\end{itemize}

\item[Positiv definit]
Eine Bilinearform $F:V\times V\rightarrow \mathbb{R}$ heisst positiv definit,
wenn gilt
\begin{itemize}
\item $F(v,v)\geq 0\quad\forall v\in V$ und
\item $F(v,v)=0\quad(\Leftrightarrow)\Rightarrow\quad v=\vec{0}$
\end{itemize}
(Bem.: $F(v,\vec{0})=F(v,0\cdot w)=0\cdot F(v,w)=0$)

\item[Skalarprodukt]
Eine symmetrische ($F(v,w)=F(w,v)$) , positiv definite Bilinearform. Jede
Matrix der Form $C=T^t T,\; T\in GL_n(\mathbb{R})$ definiert ein
Skalarprodukt!

\item[Euklidischer Vektorraum]
Ein mit einem Skalarprodukt versehener Vektorraum. Z.B. $\mathbb{R}^n$ mit
herk"ommlichem Skalarprodukt und im $\mathbb{R}^2$, falls
$c=\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ symmetrisch, positive
Diagonale und positive Determinante.

\end{type}

%----------------------------------
\subsection{Norm}
%----------------------------------
\begin{type}
\item[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung] 
$$\boxed{(v,w)^2\leq (v,v)(w,w) \quad \forall v,w\in V}$$
("`="� $\Leftrightarrow$ $v,w$ linear abh"angig).
Spezialf"alle: $x,y\in\mathbb{R}^n$ mit Standardskalarprodukt
\begin{enumerate}
\item $(\Sigma_{i=1}^{n}x_i
y_i)^2\leq(\Sigma_{i=1}^{n}x_i^2)(\Sigma_{i=1}^{n}y_i^2)$
\item $f,g:\lbrack a,b\rbrack\rightarrow\mathbb{R}\text{ stetig und }\lbrack
a,b\rbrack\subset\mathbb{R}$ \\
$V=c^0\lbrack a,b\rbrack,\quad (f,g):=\int_a^b f(t)g(t)dt$ \\
$(\int_a^bf(t)g(t)dt)^2\leq(\int_a^bf(t)^2dt \int_a^bg(t)^2dt)$
\end{enumerate}

\item[Norm]
F"ur $v\in V$ sei $\| v\|:=\sqrt{(v,v)}\in\mathbb{R}_{\geq 0}$. Es gilt:
\begin{enumerate}
\item $\|\alpha v\|=\mid\alpha\mid \cdot \| v\|\quad\forall\alpha\in\mathbb{R},v\in V$
\item $\| v+w\|^2=(v+w,v+w)\leq(\| v\|+\| w\|)^2$, also:\\
$\| v+w\|\leq \|v\| + \| w\|$ (Dreiecksungleichung)
\item $\| v\|\geq 0 ,\quad \| v\|=0\Leftrightarrow v=\vec{0}$
\end{enumerate}

\item[Winkel zwischen zwei Vektoren]
$\arccos\frac{(v,w)}{\| v\| \cdot \| w\|}$

\end{type}

%----------------------------------
\subsection{Orthogonalit"at}
%----------------------------------
\begin{type}
\item[Orthogonal]
$v,w\in V$ heissen orthogonal ($v\perp w$), wenn $(v,w)=0$ ist. \\
$\vec{0}$ ist zu allen Vektoren orthogonal. Wenn $(v,w)=0$ f"ur alle $w\in V$,
dann ist $v=\vec{0}$, da $(v,v)=\| v\|^2=0\quad\Leftarrow\quad v=\vec{0}$

\item[Orthogonalsystem]
Eine Familie von Vektoren $v_1,v_2,\ldots$ heisst ein Orthogonalsystem, wenn
$v_i\perp v_j\quad\forall i\not= j$. \\
Ein Orthogonalsystem bestehend aus Vektoren $\not=0$ ist linear
unabh"angig. \\
Sind $V_1,\ldots,V_p$ Unterr"aume mit $V_i\perp V_j \quad (i\not= j)$, dann
ist $W=\text{Span}(V_1,\ldots,V_p)=V_1\oplus \ldots \oplus V_p$.\\
($W=V_1\oplus
\ldots\oplus V_p$ bedeutet: jeder Vektor $v\in W$ hat eine eindeutige
Darstellung $v=v_1+\ldots+v_p\quad v_j\in V_i$)

\item[Orthonormalsystem] 
Ein Orthogonalsystem besteht aus lauter Vektoren $v_i$ mit $\| v_i\|=1$. \\
Jeder Euklidische Vektorraum $V$ mit $\dim V<\infty$ besitzt eine
Orthonormalbasis. \\
Wenn also $v_1,\ldots,v_n$ mit $C=\left( (v_i,v_j)\right)$ eine beliebige
Basis ist, und $e_1,\ldots,e_n$ eine orthogonale Basis ist, dann hat die
Basistransformation gegeben durch $T\in GL_n(\mathbb{R})$ die Matrix zu dieser
Basis: $E_n=\left( (e_i,e_j)\right)$. \\
Wenn $C$ die Matrix eines Skalarproduktes ist, dann gibt es ein $T\in
GL_n(\mathbb{R})$ mit $C=T^t T$ und umgekehrt.

\item[Gram-Schmidtsche Orthogonalisierung]
Gegeben: linear unabh. System $v_1,v_2,\ldots$. Gesucht: Orthogonalsystem
$w_1,w_2,\ldots$ beides mit
Span$(v_1,\ldots,v_i)=\text{Span}(w_1,\ldots,w_i)\quad\forall i$.
\begin{enumerate}
\item $w_1:=v_1\not=\vec{0}$
\item Ansatz: $v_2=\alpha w_1+w_2$ mit $(w_1,w_2)=(v_1,w_2)=0$.\\
$(v_2,v_1)=\alpha\cdot(w_1,v_1)+(w_2,v_1)=\alpha\cdot(v_1,v_1)$ \\
also $v_2=\frac{(v_2,v_1)}{(v_1,v_1)}w_1+w_2$ und
$w_2=v_2-\frac{(v_2,w_1)}{(w_1,w_1)}w_1$
\item $w_3=v_3-\alpha_1 w_1-\alpha_2 w_2$ mit $(w_3,w_1)=0,\quad(w_3,w_2)=0$\\
$0=(v_3,w_1)-\alpha_1(w_1,w_1)\quad\Rightarrow\quad\alpha_1=\frac{(v_3,w_1)}{(w_1,w_1)}$\\
$0=(v_3,w_2)-\alpha_2(w_2,w_2)\quad\Rightarrow\quad\alpha_2=\frac{(v_3,w_2)}{(w_2,w_2)}$\\
Span$(v_1)=\text{Span}(w_1),\text{Span}(v_1,v_2)=\text{Span}(w_1,w_2)$ mit
$w_2\not=0$, da $\dim\text{Span}(v_1,\ldots,v_k)=\dim\text{Span}(w_1,\ldots,w_k)$.
\end{enumerate}
Die Matrix $T$, die durch das Verfahren entsteht ist dreieckig:
\begin{align}
C & =
\begin{pmatrix} 1 & & \tau \\ & \ddots & \\ 0 & & 1 \end{pmatrix}^t
\begin{pmatrix} d_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & d_n \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & & \tau \\ & \ddots & \\ 0 & & 1 \end{pmatrix} \notag \\
& = (T')^t D T' = (\sqrt{D} T')^t \cdot (\sqrt{D}T') \notag
\end{align}
Beispiel: $V=\mathbb{R}\lbrack r\rbrack$ Polynome, VR "uber $\mathbb{R}$
und $\left( p(t),q(t)\right):=\int_{-1}^1 p(t)q(t)dt$ und $V\subseteq
C^0\lbrack-1,+1\rbrack$ mit Basis $v=1,t,t^2,t^3,\ldots$ nicht orthogonal!
Nach Anwendung von Gram-Schmidt ergibt sich $w_0=v_0=1$, $w_1=t$,
$w_2=t^2-\frac{1}{3}$, $w_3=t^3-\frac{3}{5}t$, $\ldots$ die sogenannten
\textbf{Legendre-Polynome}.

\item[$X\perp Y$]
$X,Y\subseteq V$, $X$ orthogonal zu $Y$ ($X\perp Y$), wenn $(x,y)=0\quad\forall
x\in X,y\in Y$ \\
$X\perp Y \quad\Leftrightarrow\quad\text{Span}(X)\perp\text{Span}(Y)$ mit
Span$(X)=\{\Sigma \alpha_i x_i\mid x_i\in X\}$ \\
Beispiel: $v=(\alpha,\beta)\perp w=(-\beta,\alpha)$ \\
Sind $e_1,\ldots,e_n$ orthogonal und $v_1,\ldots,v_n$ beliebig mit
$v_k=\Sigma_{i=1}^n\alpha_{ik}e_i$ und $A=(\alpha_{ik})$, dann ist
$v_1,\ldots,v_n$ orthogonal, wenn $A^tA=E_n$. \\
Die Matrix $A\in\mathbb{M}_n(\mathbb{R})$ mit $A^tA=E_n$ heisst dann
orthogonal, und folgende Aussagen sind "aquivalent f"ur
$A\in\mathbb{M}_n(\mathbb{R})$:
\begin{enumerate}
\item $A$ ist orthogonal.
\item $A^tA=E_n$
\item $AA^t=E_n$
\item $A$ vermittelt eine Basistransformation zwischen Orthonormalbasen.
\item Die Spalten von $A$ bilden im $\mathbb{R}^n$ bzgl. dem
Standardskalarprodukt eine Orthonormalbasis.
\item Die Zeilen von $A$ bilden im $\mathbb{R}^n$ bzgl. dem Skalarprodukt eine
Orthonormalbasis.
\end{enumerate}

\item[Fourierkoeffizient, Parsevalsche Gleichung]
Sei $e_1,\ldots,e_n$ eine Orthonormalbasis von $V$. Dann ist jeder Vektor
$v\in V$ darstellbar als
\begin{align*}
v=\Sigma_{i=1}^n(v,e_i)e_i && (v,e_i)\text{ heisst
"`\textbf{Fourierkoeffizient}"�}
\end{align*}
und es gilt
\begin{align*}
\| v \|^2=\Sigma_{i=1}^n(v,e_i)^2 && \text{"`\textbf{Parsevalsche
Gleichung}"�}
\end{align*}

\item[Fourier-Reihen]
$$f(x)=a_0+\Sigma_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+\Sigma_{n=1}^\infty\sin(nx)$$
mit
$$a_n:=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(x)\cos(nx)dx\qquad
b_n:=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(x)\sin(nx)dx$$
$$a_0:=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(x)dx\qquad b_0:=0$$
Es ist:
\begin{enumerate}
\item $f^2(x)$ integrierbar $\Rightarrow$ $\| f-S_N\|\rightarrow 0$
\item $f(x)$ stetig differenzierbar $\Rightarrow$ $S_N\rightarrow f$
(gleichm. punktweise) konvergent
\item $\exists$ stetige Funktion: $S_N(x)$ ist divergent f"ur eine dichte
Teilmenge $x\in X\subseteq\lbrack 0,2\pi\rbrack$
\end{enumerate}
\end{type}

%----------------------------------
\subsection{Orthogonale Abbildungen}
%----------------------------------
\begin{type}
\item[Orthogonal] $ $ \\
\framebox[\textwidth]{\parbox{\linewidth}{
Eine lineare Abbildung $f:V\rightarrow V'$ heisst orthogonal, wenn sie mit den
Skalarprodukten vertr"aglich ist, d.h.
$\left( f(v),f(w)\right)_{V'}=(v,w)_V\quad\forall v,w\in V$. \\
Dabei sind $V,V'$ Euklidische Vektorr"aume $(,)_v$, $(,)_{v'}$.\\
}}
\end{type}
F"ur lineare Abbildungen $f:V\rightarrow V'$ ist "aquivalent:
\begin{enumerate}
\item $f$ ist orthogonal
\item Aus $\| v\| =1$ folgt stets $\| f(v)\| =1$
\item F"ur alle $v\in V$ gilt $\|v \|=\| f(v)\|$
\item Ist $e_1,\ldots,e_n$ orthogonal in $V$, dann ist $f(e_1),\ldots,f(e_n)$
orthogonal in $V'$
\end{enumerate}
Orthogonale Abbildungen $f:V\rightarrow V'$ sind also injektiv (im
$\mathbb{R}^2$ sind das z.B. immer Drehungen oder Spiegelungen). \\
Eine lineare Abbildung $f:V\rightarrow V'$ ist genau dann orthogonal, wenn sie
bzgl. Orthonormalbasen $\{e_1,\ldots,e_n\},\{e_1',\ldots,e_m'\}$ durch eine
Matrix $A\in\mathbb{M}_{n,m}(\mathbb{R})$ beschrieben wird mit $A^tA=E_n$.
\\
Es sei $V=V'$: Ein Endomorphismus (=lineare Abb. $f:V\rightarrow V$) ist genau
dann orthogonal, wenn er bzgl. einer Orthonormalbasis durch eine orthogonale
Matrix beschrieben wird (Bsp. $V=\mathbb{R}^1$, $V=\mathbb{R}^2$). \\
Beobachtungen:
\begin{enumerate}
\item $f,g:V\rightarrow V$ orthogonal $\Rightarrow$ $f\circ g:V\rightarrow V$
orthogonal
\item $Id$ ist orthogonal
\item Wenn $f:V\rightarrow V$ orthogonal, dann ist $f$ invertierbar und
$f^{-1}$ orthogonal
\end{enumerate}
Fazit: $G=\{f:V\rightarrow V\mid f\text{ orthogonal}\}$ ist eine Gruppe bzgl.
der Komposition. Genauso der Automorphismus
$Aut(V)=\{f:V\rightarrow V\mid f\text{ linear, bijektiv}\}$. $G$ ist eine
Untergruppe von $Aut(V)$. In der Matrixversion: $O(n)=\{A\in
GL_n(\mathbb{R})\mid A^t A=E_n\}$:
\begin{enumerate}
\item $A,B\in O(n)\Rightarrow AB\in O(n)$
\item $E_n \in O(n)$
\item $A\in O(n)\Rightarrow A^{-1}\in O(n)$
\end{enumerate}
F"ur $A\in O(n)$ gilt:
\begin{enumerate}
\item $\det A=Id$
\item ist $\lambda\in\mathbb{C}$ ein Eigenwert von $A$, dann ist
$\mid\lambda\mid=1$
\end{enumerate}

%----------------------------------
\subsection{Orthogonales Komplement}
%----------------------------------
\begin{type}
\item[Definition]
Sei $V$ Euklidischer Vektorraum und $U\leq V$ ein Unterraum, so ist
$$U^\perp :=\{ v\in V\mid (v,u)=0\} \quad \forall u\in U$$
das orthogonale Komplement von $U$. Es gilt:
\begin{itemize}
\item $U^\perp$ ist Unterraum
\item $U\cap U^\perp=\{\vec{0}\}$
\item $U\subseteq (U^\perp)^\perp$
\item Wenn $\dim U<\infty$ ist, dann ist $V=U\oplus U^\perp$. Genau dann verdient
$U^\perp$ den Namen "`\textbf{orthogonales Komplement}"�.
\item Wenn $\dim V<\infty$ und $U\leq V$ Unterraum $\Rightarrow$ $\dim U+\dim
U^\perp=\dim V$ und $U^{\perp^\perp}=U$.
\end{itemize}

\item[Satz von Weierstra"s]
$f$ kann man gleichm"assig durch Polynome approximieren: Also gibt es ein $g\in U$
mit $\mid f(t)-g(t)\mid < \frac{\alpha}{2\beta}$, d.h. es ex. ein Polynom, das
nicht orthogonal zu $f$ steht $\Rightarrow$ $U^\perp=\{\vec{0}\}$. \\
D.h. aber auch: $\dim U+\dim U^\perp\not=\dim V$, $U\oplus U^\perp\not= V$ und
$U^{\perp^\perp}=(\vec{0})^\perp=V\not=U$.

\item[Satz]
Sei $V$ Euklidischer Vektorraum und $U\leq V$ endlichdimensionaler UR. Wenn
$f:U\rightarrow V$ eine orthogonale Abbildung ist, die $U$ invariant l"asst, dann
l"asst $f$ auch $U^\perp$ invariant. ($f$ l"asst $U$ invariant $\Leftrightarrow$ $U$
ist $f$-invariant $\Leftrightarrow$ $f(U)\leq U$).
\end{type}

Wenn $f:V\rightarrow V$ orthogonal ist, dann sind die Eigenwerte
$\lambda\in\mathbb{C}$ komplex vom Betrag $\mid\lambda\mid=1$. \\
Sei $v$ Eigenvektor zu reellen $\lambda=\varepsilon=\pm 1$. $U=\mathbb{R}v\leq V$
1-dimensionaler $f$-invarianter $UR$. $U^\perp$ ist auch $f$-invariant. Wenn wir
Basis $v_2,\ldots,v_n$ von $U^\perp$ w"ahlen, dann wird $f$ durch Matrix
$\begin{pmatrix} \varepsilon & 0 \\ 0 & A' \end{pmatrix}$ beschrieben. $A'$ ist
wieder orthogonal ($f\mid_{U^\perp}:U^\perp\rightarrow U^\perp$ ist orthogonal).
Iteriere: $\dim V<\infty$ erreicht man nach endlich vielen Schritten:
$\begin{pmatrix} \begin{matrix} \varepsilon_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & &
\varepsilon_m \end{matrix} & \vline & 0 \\ \hline 0 & \vline & A^{(m)} \end{pmatrix}$
mit $\varepsilon_i=\pm 1$. \\
$A^{(m)}$ besitzt keine reellen Eigenwerte. $A^{(m)}\in O(n-m)$ hat lauter
paarweise konjugierte komplexe Eigenwerte $\Rightarrow$ in
$\mathbb{R}^{(n-m)}$ gibt es 2-dimensionale $A^{(m)}$-invariante
Unterr"aume $U$. \\
Also gibt es zu jeder orthogonalen Abbildung $f:U\rightarrow V$ ($\dim
V=n<\infty$) eine orthonormale Basis bzgl. derer $f$ durch die Matrix
$A=\begin{pmatrix} \begin{matrix} 1 & & \\ & \ddots & \\
& & 1 \end{matrix} & & 0 \\ & \begin{matrix} -1 & & \\
& \ddots & \\ & & -1 \end{matrix} & \\ 0 & & \begin{matrix} B_1 & & \\
& \ddots & \\ & & B_k \end{matrix} \end{pmatrix}$
mit $B_i=\begin{pmatrix}\cos\alpha_i & -\sin\alpha_i \\ \sin\alpha_i & \cos\alpha_i
\end{pmatrix}$, $\alpha_i\in\lbrack 0,2\pi\rbrack$,
$\alpha_i\not = 0,\not = \pi,\not = 2\pi$ beschrieben wird. 

\begin{type}
\item[K"astchenform einer orthogonalen Abbildung]
$f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$ sei orthogonale Abbildung und wird
beschrieben durch
$\begin{pmatrix} A_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & A_k \end{pmatrix}$
mit $A_i=\begin{pmatrix}\cos\alpha_i & -\sin\alpha_i \\ \sin\alpha_i & \cos\alpha_i
\end{pmatrix}$ \\
Zu jeder Matrix $A\in O(n)$ gibt es eine Matrix $B\in O(n)$ mit $B^t A
B=$(K"astchenform).

\item[Spezielle Matrix]
$A\in O(n)$ heisst speziell, wenn $\det A=1$ gilt.\\
$SO(n):=\{ A\in O(n)\mid\det A=1\}$ sind die sog. Drehmatrizen. \\
$SO(n)$ ist eine Untergruppe von $O(n)$.
$A\in SO(3)$ beschreibt eine Drehung im $\mathbb{R}^3$ mit
\begin{itemize}
\item Drehachse: Eigenraum zum EW+1 (wenn eindeutig bestimmt)
\item Drehebene: orthogonales Komplement zur Drehachse
\item Drehwinkel: $A$ ist orthogonal konjugiert zu $\begin{pmatrix} 1 & 0 &
0 \\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha \\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha
\end{pmatrix}$, also
$$\text{Spur}A=1+\alpha\cos\alpha\Rightarrow\cos\alpha=\frac{1}{2}\left(
\text{Spur}(A)-1\right)$$
und Spur$(A):=\Sigma_{i=1}^n a_i$ mit $A=(a_{ij})_{i,j\leq n}$.
\end{itemize}
\end{type}


%----------------------------------
\subsection{Unit"are Vektorr"aume}
%----------------------------------
\begin{type}
\item[Hermitesche Form] $ $ \\
\framebox[\textwidth]{\parbox{\linewidth}{
Eine Abbildung $\Phi:V\times V\rightarrow\mathbb{C}$ mit $v,v',w\in V, 
c\in\mathbb{C}$, und Eigenschaften:
\begin{itemize}
\item $\Phi(v+v',w)=\Phi(v,w)+\Phi(v',w)$
\item $\Phi(c\cdot v,w)=c\cdot\Phi(v,w)$
\item $\Phi(v,w)=\overline{\Phi(w,v)}$
\end{itemize}
Es gilt:
\begin{enumerate}
\item $\Phi(v,-)$ ist additiv
\item $\Phi(v,c\cdot w)=\overline{c}\cdot\Phi(v,w)$ ($\Phi(-,-)$ ist also bzgl.
$\mathbb{R}$ bilinear)
\item $\Phi(v,v)=\overline{\Phi(v,v)}$ also $\Phi(v,v)\in\mathbb{R}$
\end{enumerate}
}}
\item[Positiv definit]
$\Phi$ heisst positiv definit, wenn $\Phi(v,v)\geq0$ f"ur alle $v\in V_i$.
"`=0"� nur f"ur $v=\vec{0}$.

\item[(Hermitesches) Skalarprodukt]
Ein (Hermitesches) Skalarprodukt in einem $\mathbb{C}$-Vektorraum $V$ ist
eine pos. definite Hermitesche Form $(,):V\times V\rightarrow\mathbb{C}$.
Ein unit"arer VR ist ein $\mathbb{C}$-VR mit einem Skalarprodukt.
$$\boxed{\left(f(v),w\right)=\left(v,f^\ast(v)\right)=\overline{\left(f^\ast(v),v\right)}}$$

\item[Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung] $\mid
(v,w)\mid^2\leq(v,v)\cdot(w,w)$, mit "`="� $\Leftrightarrow$ $v,w$ lin.
abh.
\end{type}

Genau wie die Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung gilt, bleibt auch die
Definition der Norm und der Orthogonalit"at gleich:

\begin{type}
\item[Norm]
$\| v\|=\| (v,v)\|=\sqrt{(v,v)}\geq0$, reel

\item[Orthogonalit"at]
$\forall v,w\in V\quad:v \perp w\Leftrightarrow (v,w)=0$
\end{type}

Auch sind Orthogonalsysteme linear unabh"angig und das Gram-Schmidtsche
Orthogonalisierungsverfahren ist anwendbar. Jeder (endlichdimensionale)
unit"are Vektorraum besitzt eine Orthonormalbasis. Ein Basiswechsel von
$e_q,\ldots,e_n$ nach $w_1,\ldots,w_n$ mit
$e_k=\Sigma_{=1}^n\alpha_{ik}w_i$, $A=(\alpha_{ik})$,
$v_j=\Sigma_{l=1}^n\beta_{l_j}e_j$, $B=(\beta_{l_j})$ und $A=B^{-1}$
$\Rightarrow$ $v_1,\ldots,v_j$ orthonormal $\Leftrightarrow$
$\overline{B}^t-B=E_n$.

\begin{type}
\item[Unit"ar]
\fbox{$A\in GL_n$ ($\mathbb{C}$) heisst unit"ar, wenn $A^{-1}=\overline{A}^t$
gilt.}
Die Matrizen, die eine Orthonormalbasis in eine ebensolche transformieren
sind genau die unit"aren.\\
F"ur $A\in GL_n(\mathbb{C})$ sind damit "aquivalent
\begin{enumerate}
\item $A$ ist unit"ar
\item Die Zeilen von $A$ bilden in $\mathbb{C}^n$ bzgl. dem
Standardskalarprodukt eine Orthonormalbasis.
\item Die Spalten ebenso.
\end{enumerate}
Auch l"asst sich jede Matrix $A\in GL_n(\mathbb{C}$ schreiben als
$A=$(unit"are Matrix)$\cdot$(obere Dreiecksmatrix). \\
$A$ unit"ar $\Rightarrow$ $\mid \det A\mid=1$. \\
\framebox[\textwidth]{\parbox{\linewidth}{Wenn $V,W$ unit"are Vektorr"aume sind, dann ist eine lineare Abbildung
$f:V\rightarrow W$ unit"ar, wenn $\left( f(v),f(v')\right)=(v,v')$ f"ur
alle $v,v'\in V$.}} \\
\framebox[\textwidth]{\parbox{\linewidth}{
Damit sind unit"are Abb. injektiv und lineare Abb. genau
dann unit"ar, wenn sie bzgl. einer Orthonormalbasis durch eine unit"are
Matrix beschrieben werden k"onnen und die Komposition unit"arer Abbildungen wieder
unit"ar ist.
}}
\item[Spezielle unit"are Gruppen]
$U(n)=\{A\in GL_n(\mathbb{C})\mid A\text{ unit"ar}\}$ ist eine Gruppe bzgl.
der Matrixmultiplikation. \\
$SU(n)=\{ A\in U(n)\mid \det A=1\}$ ist eine spezielle unit"are Gruppe. \\
Auch hier haben die Eigenwerte $\lambda\in\mathbb{C}$ einer unit"aren
Abbildung $f:V\times V$ alle Betrag $\mid\lambda\mid=1$.

\item[Orthogonales Komplement]
Sei $U\leq V$, $U^\perp :=\{v\in V\mid(v,u)=0\quad\forall u\in U\}$, dann
ist:
\begin{itemize}
\item $U\cap U^\perp=\{\vec{0}\}$
\item $U\subseteq(U^\perp)^\perp$
\item $\dim U<\infty\Rightarrow V=U\oplus U^\perp$
\end{itemize}
Wenn $f:V\rightarrow V$ eine unit"are Selbstabbildung ist und $U\leq V$ ein
UR mit $F(U)\subseteq U$ und $\dim V<\infty$, dann ist $f(U^\perp)\subseteq
U^\perp$.
\end{type}
Sei $\dim V<\infty$. Dann gibt es zu jeder unit"aren Selbstabbildung
$f:V\rightarrow V$ eine Orthonormalbasis bestehend aus Eigenvektoren von
$f$ ($f$ ist diagonalisierbar, genauer: unit"ar diagonalisierbar). \\
$\rightarrow$ $C\in\mathbb{M}_n(\mathbb{C})$ definiert genau dann ein
Skalarprodukt, wenn $C=A^t\overline{A}$ mit $A\in GL_n(\mathbb{C})$.

%----------------------------------
\subsection{Adjungierte Abbildungen}
%----------------------------------
$K$ sei entweder $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$, $V$ ein $K$-Vektorraum mit
Skalarprodukt.

\begin{type}
\item[Funktional] $ $ \\
\framebox[\textwidth]{\parbox{\linewidth}{
Eine lineare Abbildung $f:v\rightarrow K$, wobei jeder Vektor $v\in V$ ein
solches $f_v:V\rightarrow K$ mit $f_v(w):=(w,v)$ definiert.
Die Linearit"at bedeutet, dass $f_v(\alpha w+\beta w')=\alpha f_v(w)+\beta
f_v(w')$ gilt. }}
Ist $\dim V<\infty$, dann gibt es zu jedem linearen Funktional
$f:V\rightarrow K$ einen eindeutig bestimmten Vektor $v\in V$ mit $f=f_v$,
$f(w)=(w,v)\quad\forall w\in V$.

\item[Adjungierte Abbildung] $ $ \\
\framebox[\textwidth]{\parbox{\linewidth}{
$f^\ast:W\rightarrow V$ heisst die zu $f:V\rightarrow W$ adjungierte
Abbildung und es gilt:
\begin{itemize}
\item $\left( f(v),w\right)=\left( v,f^\ast(w)\right)$
\item $f^{\ast\ast}=f$
\item Ker$f^\ast=f(V)^\perp$
\item $f^\ast(W)=(\text{Ker}f)^\perp$
\item $f$ injektiv $\Rightarrow$ $f^\ast$ surjektiv \\
$f$ surjektiv $\Rightarrow$ $f^\ast$ injektiv \\
$f$ Isomorphismus $\Rightarrow$ $f^\ast$ Isomorphismus
\item $(f+g)^\ast=f^\ast+g^\ast$ \\
$(\alpha f)^\ast=\overline{\alpha}f^\ast$
\item $(g\circ f)^\ast=f^\ast\circ g^\ast$
\end{itemize}
Sei $A\in\mathbb{M}_{nm}(K)$ die Matrix, die $f:V\rightarrow W$ bzgl.
Orthonormalbasen beschreibt. Dann wird $f^\ast:W\rightarrow V$ bzgl. dieser
Basen durch $B=\overline{A}^t$ beschrieben. \\
Wenn $\chi_f(x)$ das char. Polynom von $f:V\rightarrow V$ ist, dann ist
$\chi_{f^\ast}(x)=\overline{\chi_f}(x)$. Insbesondere gilt: $\det
f^\ast=\overline{\det f}$ und $\text{Spur}(f^\ast)=\overline{\text{Spur}(f)}$
und $f$ und $f^\ast$ haben konjugierte Eigenwerte.
}}
\end{type}

%=====================================
\section{Lineare Selbstabbildungen eines unit"aren Vektorraums}
%=====================================
Sei $V$=endlich dim. Vektorraum "uber $\mathbb{C}$ mit Skalarprodukt
End$(V)=\{f:V\rightarrow V,\text{linear}\}$ (lineare Selbstabbildung),
$V=\mathbb{C}^n$ mit Skalarprodukt
$(\underline{\alpha},\underline{\beta}):=\underline{\alpha}^t\overline{\beta}$.
$V$ bel.; sei $v_1,\ldots,v_n$ Orthonormalbasis und die
Koordinatenabbildung $\Phi:V\rightarrow\mathbb{C}^n; v\mapsto
\underline{\alpha}$ mit $v=\Sigma_{i=1}^n\alpha_i v_i$. \\
$w=\Sigma\beta_i v_i,$ $(v,w)=(\Sigma\alpha_i v_i,\Sigma\beta_j
v_j)=\Sigma_{i,j}\alpha_i\overline{\beta_j}\underbrace{(v_i,v_j)}_{\delta_{ij}}
=(\underline{\alpha},
\underline{\beta})=\left(\Phi(v),\Phi(w)\right)_{\mathbb{C}^n}$. \\
Also ist $\Phi:V\rightarrow\mathbb{C}^n$ ein unit"arer Isomorphismus (er
respektiert das Skalarprodukt):
$$\begin{matrix}
V\cong\mathbb{C}^n\cong\mathbb{R}^{2n} &
\text{End}(V)\cong\mathbb{M}_n(\mathbb{C}) \\
\underline{\alpha}\mapsto\left(Re(\underline{\alpha}),Im(\underline{\alpha})\right)
&\underline{\alpha}=\underbrace{Re(\underline{\alpha})}_{\in \mathbb{R}^n}+
i\cdot \underbrace{Im(\underline{\alpha})}_{\in\mathbb{R}^n}
\end{matrix}$$

%----------------------------------
\subsection{Norm einer linearen Selbstabbildung}
%----------------------------------
Sei $f:V\rightarrow V$ und $\| v\|=\sqrt{(v,v)},\quad\mid\alpha_i\mid^2=Re(\alpha_i)^2
+Im(\alpha_i)^2$.
\begin{type}
\item[Einheitssph"are]
$$S=\{ v\in V\mid \| v\|=1\}\cong\{ \underline{\alpha}
\in\mathbb{C}^n\mid\Sigma_{i=1}^n\mid\alpha_i\mid^2=1\}\cong\{\underline{\beta}
\in\mathbb{R}^{2n}\mid\Sigma_{i=1}^n\beta_i^2=1\}=S^{2n-1}$$
Diese Menge ist kompakt.

\item[Einheitsball]
$$B=\{v\in V\mid\| v\|\leq 1\}\cong\ldots\cong\{\underline{\beta}\in\mathbb{R}^{2n}
\mid\Sigma_{i=1}^{2n}\beta_i^2\leq 1\}=\mathbb{B}^{2n}$$
Diese Menge ist kompakt.

\item[Kompakte Mengen]
Aus der Analysis wissen wir: Wenn $F:\mathbb{R}^{2n}\rightarrow\mathbb{R}$ eine
stetige Abbildung ist und $C\subseteq\mathbb{R}^{2n}$ eine kompakte Teilmenge,
dann gilt:
\begin{enumerate}
\item $F(C)$ ist beschr"ankt, $F(C)\subseteq\lbrack a,b\rbrack,\quad a,b\in\mathbb{R}$.
Allgemeiner: stetige Abbildungen bilden kompakte Mengen auf kompakte Mengen ab.
\item $\sup F(C)$ wird angenommen; d.h. $\exists c_0\in C:F(c_0)=\sup F(C)$
($=\max\{F(C)\}$)
\end{enumerate}
Wenn ausserdem $C$ zusammenh"angend (Wegzsh.) ist, dann auch $F(C)$, d.h. $F(C)$ ist 
$=\lbrack a,b\rbrack$.

\item[Norm]
$\| f\|:=\sup_{\| v\|=1}\| f(v)\|$ ist eine reelle Zahl $\geq 0$ und es gibt ein
$v_0\in S$ mit $\| f\|=\|f(v_0)\|$. \\
$v\in V$, $v\neq\vec{0}$ $\Rightarrow$ $\frac{v}{\| v\|}\in S_i$. \\
Ausserdem $\frac{1}{\| v\|}\| f(v)\|=\| f(\frac{v}{\| v\|}\|\leq\| f\|$ also
\mbox{$\| f(v)\|\leq \| f\|\cdot\| v\|,\quad\forall v\in V$} und auch 
\mbox{$\| f\|=\sup_{v\neq\vec{0}}\frac{\| f\| }{\| v\|}$}. \\
Die Norm besitzt folgende Eigenschaften ($\forall f,g:V\rightarrow V,\alpha\in
\mathbb{C}$):
\begin{itemize}
\item $\| f\|=0\Leftrightarrow f=0$
\item $\| f+g\|\leq\| f\| + \| g\|$
\item $\|\alpha f\|=\mid\alpha\mid\cdot\| f\|$
\item $\|f\circ g\|\leq\| f\|\cdot\| g\|$
\item $\| f\|=\max_{\|v=1\|,\| w\|=1}\|(f(v),w)\|$
\end{itemize}
F"ur alle $f:V\rightarrow V$ gilt $\| f^\ast\|=\| f\|$ und $\|f^\ast f\|=\| f\|^2$.

\end{type}

%----------------------------------
\subsection{Wertevorrat}
%----------------------------------
\begin{type}
\item[Wertevorrat]
Sei $f:V\rightarrow V$, dann ist der Wertevorrat von $f$
$$W(f)=\{\left( f(v),v\right)\mid\| v\|=1\}\subseteq\mathbb{C}$$
mit den folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item $W(f)$ ist kompakt
\item Wenn $u:V\rightarrow V$ unit"ar ist, dann ist $W(u^\ast fu)=W(f)$
\item Ist $\alpha,\beta\in\mathbb{C}$, dann ist $W(\alpha f+\beta\cdot Id)=
\alpha\cdot W(f)+\beta$
\end{enumerate}
$\dim V=2$, $f:V\rightarrow V$ linear $\Rightarrow$ $W(f)=$Ellipse mit
Eigenwerten $\lambda_1,\lambda_2$ von $f$ in den Brennpunkten.

\item[Konvext"at]
Sei $V$ ein $\mathbb{R}$-Vektorraum. Eine Teilmenge $M\subseteq V$ heisst
konvex, wenn mit $v,w\in M$ auch die Verbindungsstrecke
$\{tv+(1-t)w\mid 0\leq t\leq 1\}$ in $M$ ist.

\item[Satz von Hausdorff]
$W(f)$ ist konvex $\rightsquigarrow$ $W(f)$ enth"alt immer die EW von $f$.

\item[S"atze]
Die Ecken auf dem Rand von $W(f)$ sind Eigenwerte. \\
Wenn $\lambda$ ein Eigenwert auf dem Rand von $W(f)$ ist, dann ist das 
orthogonale Komplement des Eigenraums $E_\lambda(f)\leq V$, also
$E_\lambda(f)^\perp$ $f$-invariant. Also ist $V=E_\lambda(f)\oplus E_\lambda(f)^\perp$
$f$-invariant.
\end{type}

%----------------------------------
\subsection{Selbstadjungierte lineare Abbildungen $f:V\rightarrow V$}
%----------------------------------
\begin{type}
\item[Selbstadjungierte Abbildungen] $ $ \\
\framebox[\textwidth]{\parbox{\linewidth}{
$f:V\rightarrow V$ heisst selbstadjungiert, wenn $f^\ast=f$ und $f^\ast:V\rightarrow
V$ mit $(f(v),w)=\left(v,f^\ast(w)\right)\quad\forall v,w\in V$ gilt. }}
\framebox[\textwidth]{\parbox{\linewidth}{
Wird $f$ bzgl. einer Orthnormalbasis durch die Matrix $A\in\mathbb{M}^n(
\mathbb{C})$ beschrieben, dann wird $f^\ast$ bzgl. eben dieser Basis durch 
$\overline{A}^t$ beschrieben. Selbstadjungierte Abbildungen $f:V\rightarrow V$
werden also bzgl. Orthonormalbasen durch Matrix $A$ mit $A=\overline{A}^t$
beschrieben (\textbf{Hermitesche Matrix}).}}
$v\neq\vec{0}\quad f(v)=\lambda v\quad \left(f(v),w\right)=\left(\overline{f(v),v}\right)$,
also $\left(f(v),v\right)\in\mathbb{R}$, also $W(f)\subseteq\mathbb{R}$
$\Rightarrow$ Eigenwerte reell. Ist $f:V\rightarrow V$ selbstadj., dann
\begin{itemize}
\item[$\Rightarrow$] Eigenwerte von $f$ sind reell
\item[$\Rightarrow$] $\| f\|=\sup_{\| v\|\leq1}\mid\left( f(v),v\right)\mid$
\item[$\Rightarrow$] $\| f\|$ oder $-\| f\|$ sind Eigenwerte
\item[$\Rightarrow$] ist $U\leq V$ ist $f$-invariant, dann auch $U^\perp$
\end{itemize}

\item[Hauptsatz]
Zu jeder selbstadjungierten Abbildung $f:V\rightarrow V$ gibt es eine
Orthonormalbasis bestehend aus Eigenvektoren $\in\mathbb{R}$.

\item[Hermitesche Matrix]
Jede Hermitesche Matrix ist diagonalisierbar, d.h. $A\in\mathbb{M}_n(\mathbb{C})$
mit $\overline{A}^t=A$, dann gibt es eine Menge $U\in U(n)$ ($\overline{U}^t=
U^{-1}$) mit $U^{-1}AU=\begin{pmatrix} \ddots & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \ddots
\end{pmatrix}$ reell. \\
Eine lineare Selbstabbildung $f:V\rightarrow V$ ist genau dann selbstadjungiert,
wenn $W(f)\subseteq\mathbb{R}$. \\
Ist $f$ selbstadjungiert und $\lambda_1\geq\lambda_2\geq\ldots\geq\lambda_n$
die (reellen) Eigenwerte von $f$, dann ist $W(f)\lbrack\lambda_n,\lambda_1\rbrack\subseteq
\mathbb{R}$.

\item[Minimax-Prinzip von Courant]
Sei $f$ selbstadjungiert. $\lambda_1\geq\lambda_2\geq\ldots\geq\lambda_n$
alle Eigenwerte mit ihren Vielfachheiten aufgef"uhrt. \\
$v_1,\ldots,v_n$ sei die Orthonormalbasis mit $f(v_i)=\lambda_i v_i$. \\
F"ur jeden Unterraum $U\leq V$ mit $\dim U=n-k+1$ gilt $\lambda_k\leq\max\{
\left( f(u),u\right)\mid u\in U\}=:W(f\mid U)$ und $W(f)=\{\Sigma_{i=1}^n
\lambda_i t_i\mid \Sigma t_i=1\}$ und $\lambda_k=\min_{U\leq V}\max(f\mid
U)$, $\dim U=n-k+1$. \\
Eine Anwendung ist: \\
Sei $A\in\mathbb{M}_n(\mathbb{C})$ und Hermitesche Eigenwerte $\lambda_1\leq
\ldots\leq\lambda_n$. \\
$A=\begin{pmatrix} A' & \vline & \begin{matrix} \ast \\ \vdots \\ \ast \end{matrix} \\
\hline \ast \ldots \ast & \vline & \ast \end{pmatrix}$ und $A'\in\mathbb{M}_{n-1}
(\mathbb{C})$ Eigenwerte $\lambda_1'\geq\lambda_2'\geq\ldots\geq\lambda_{n-1}'$.\\
Dann gilt $\lambda_1\geq\lambda_1'\geq\lambda_2\geq\lambda_2'\geq\ldots\geq
\lambda_{n-1}'\geq\lambda_n$.

\end{type}

%----------------------------------
\subsection{Normale Abbildungen}
%----------------------------------
$f:V\rightarrow V$, $V$ ist ein $\mathbb{C}$-Vektorraum, $\dim V=n<\infty$ mit
Skalarprodukt.
\begin{type}
\item[Normale Abbildungen] $ $ \\
\framebox[\textwidth]{\parbox{\linewidth}{
Eine lineare Abbildung $f:V\rightarrow V$ heisst normal, wenn $f f^\ast=f^\ast f$
gilt. }}
Beispiele:
\begin{itemize}
\item $f$ selbstadjungiert, $f^\ast=f$
\item $f$ unit"ar, $f^\ast=f^{-1}$
\item $f:V\rightarrow V$ mit $V$ hat orthonormale Basis aus Eigenvektoren
\end{itemize}
$f=g_1+ig_2$ ($g_i$ selbstadj.) ist genau dann normal, wenn $g_1$ und $g_2$
kommutieren. \\
Zwei selbstadj. Abbildungen $g_i:V\rightarrow V$ kommutieren genau dann, wenn
es f"ur sie simultan eine Basis aus Eigenvektoren gibt.

\item[Konvex-Linearkombination]
Sei $V$ ein $\mathbb{R}$-Vektorraum und $v_1,\ldots,v_k\in V$. Eine
$Konvex-Linearkombination$ von $v_1,\ldots,v_n$ ist ein Ausdruck
$$\Sigma_i=1^k t_i v_i \text{ mit } t_i\in\mathbb{R},\quad t_i\geq 0,\quad
\Sigma_{i=1}^k z_i=1.$$
Die Menge aller Konvex-Linearkombinationen von $v_1,\ldots,v_k$ beschreibt
eine konvexe Teilmenge von $V$. Dies ist die kleinste konvexe Menge, die
$v_1,\ldots,v_k$ enth"alt (=\textbf{konvexe H"ulle}). \\
Wenn also $f:V\rightarrow V$ eine normale Abbildung ist, dann ist 
$W(f)=$"`die konvexe H"ulle der Eigenwerte von $f$"�=$\{$Konvex-Linearkomb.
der EW von $f\}$, und $W(f)=$Polyeder mit $n$ Ecken.

\end{type}

%----------------------------------
\subsection{Postive selbstadjungierte Abbildungen}
%----------------------------------
Seien $f,g:V\rightarrow V$ selbstadjungiert.

\begin{type}
\item[Positiv Selbstadjungierte Abbildungen] $ $ \\
\framebox[\textwidth]{\parbox{\linewidth}{
$f\geq g$, wenn $\left(f(v),v\right)\geq\left(g(v),v\right)$ $\forall v\in V$\\
$f>g$, wenn $\left(f(v),v\right)>\left(g(v),v\right)$ $\forall v\in V, v\neq\vec{0}$ \\
}}
Also:
\begin{itemize}
\item $f\geq 0$, wenn $\left(f(v),v\right)\geq0$ $\forall v\in V$
\item $f>0$, wenn $\left(f(v),v\right)>0$ $\forall v\in V, v\neq\vec{0}$
\end{itemize}
F"ur Orthonormalbasis $v_1,\ldots,v_n\in V$ mit $f(v_i)=\lambda_i v_i$,
$\lambda_i$ Eigenwert gilt:
\begin{align*}
f>0 & \Leftrightarrow \lambda_i>0 \\
f\geq 0 & \Leftrightarrow \lambda_i\geq0
\end{align*}
\end{type}

Die folgenden Aussagen sind "aquivalent f"ur eine selbstadj. Abbildung $f:V\rightarrow
V$, die bzgl. einer Orthonormalbasis durch die Matrix $A\in\mathbb{M}_n(\mathbb{C})$
beschrieben wird ($\overline{A^t}=A$):
\begin{itemize}
\item $f>0$
\item F"ur alle $1\leq i_1\leq\ldots\leq i_k\leq n$ entsteht aus $A$ durch Weglassen
der $i_1$-ten,$\ldots,i_k$-ten Zeilen und Spalten eine Matrix mit positiver
Determinante.
\item F"ur alle $k=1,\ldots,n$ ist $\det \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \ldots &
\alpha_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ \alpha_{n1} & \ldots & \alpha_{nn}
\end{pmatrix} >0$. \\
\end{itemize}

\begin{type}
\item[Satz]
Sei $f:V\rightarrow V$ selbstadj. mit $f\geq 0$. Sei $m\in\mathbb{N}$.
\begin{enumerate}
\item Dann gibt es eine selbstadj. Abb. $g:V\rightarrow V$ mit $g^m=f$ und
$g\geq 0$
\item $g$ ist eindeutig bestimmt
\item Wenn $h:V\rightarrow V$ lineare Abb. ist mit $hf=fh$, dann gilt auch
$hg=gh$ ( $C(f)=\{h:V\rightarrow V\mid hf=fh\}$ "`\textbf{Zentralisator}"�: $C(f)=C(g)$)
\end{enumerate}
Sei $V$ ein unendlichdimensionaler Vekotrraum "uber bel. K"orper $K$; $\varphi:
V\rightarrow V$ eine diagonalisierbare und $\psi:V\rightarrow V$ eine bel. lin.
Abb. Dann gilt:
$$\varphi\psi=\psi\varphi\quad\Leftrightarrow\quad\text{Die Eigenr"aume von }\varphi
\text{ sind } \psi \text{-invariant.}$$

\item[Polarzerlegung]
Jede lineare Abbildung l"asst sich schreiben als $f=u\circ s$ mit $u$ unit"ar
und $s$ selbstadj. und $s\geq 0$. \\
$s$ ist eindeutig bestimmt mit $s=\sqrt{f^\ast f}$. Wenn $f$ invertierbar ist, dann
ist $s>0$ (invertierbar) also auch $u=fs^{-1}$ eindeutig. \\
$f$ normal $\Leftrightarrow$ $us=su$. \\
Sei $f,g:V\rightarrow V$ linear mit $\| f(v)\| = \| g(v)\|$ $\forall v\in V$. Dann
gibt es eine unit"are Abbildung $u:V\rightarrow V$ mit $f=ug$.

\end{type}

%----------------------------------
\subsection{Etwas konvexe Geometrie und Anwendungen auf $W(f)$}
%----------------------------------
\begin{type}
\item[Konvex] Definition
\begin{enumerate}
\item $M\subseteq\mathbb{R}^n$ heisst konvex, wenn mit $x,y\in M$ auch 
die Verbindungslinie $\lbrack x,y\rbrack:=\{(1-t)x+ty\mid t\in\lbrack
0,1\rbrack\}\subseteq M$ ist.
\item Eine Konvexlinearkombination von $x_1,\ldots,x_k\in\mathbb{R}^n$ ist jeder
Ausdruck $\Sigma t_i x_i$ mit $t_i\geq 0$, $\Sigma t_i=1$.
\item Ist $M\subseteq\mathbb{R}^n$ bel. und konv$(M):=\{\Sigma_{i=1}^pt_i x_i
\mid t_i\geq0,\Sigma t_i=1\forall x_i\in M\}$=konvexe H"ulle von $M$ in 
$\mathbb{R}^n$.
\end{enumerate}
Es ist konv$(M)$ die kleinste konvexe Menge, die $M$ enth"alt.

\item[Halbraum]
$H\subseteq\mathbb{R}^n$ heisst (abg.) Halbraum, wenn es ein lineares
Funktional $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ und ein $\beta\in\mathbb{R}$
mit $H=\{x\in\mathbb{R}^n\mid f(x)+\beta\geq0\}$.

\item[Satz von Hansdorff]
Sei $V$ unit"arer VR mit $\dim V=n<\infty$, $f:V\rightarrow V$. Dann
ist $W(f)=\{\left(f(v),v\right)\mid\| v\|=1\}$ konvex.

\item[Satz]
Jede Ecke $W(f)$ ist ein Eigenwert von $f$.

\item[Trennungssatz]
Es sei $K\subseteq\mathbb{R}^n$ abgeschlossen und konvex. Sei $x\in\mathbb{R}^n,
x\neq K$. Dann gibt es einen Halbraum $H\subseteq \mathbb{R}^n$ mit $K\subseteq H,
x\not\in H$ (d.h. Rd$H$ trennt $K$ von $x$).

\item[Corollar]
Jede abgeschlossene konvexe Menge ist Durchschnitt von Halbr"aumen.

\item[St"utzhyperebenen]
Der \textbf{Rand} einer abgeschlossenen konvexen Menge $K\subseteq\mathbb{R}^n$ ist
Rd$K=\{ x\in k\mid x$ ist H"aufungspunkt des Komplements $\mathbb{R}^n-K\}$. \\
Sei $K$ konvex und abgeschlossen und $x_0\in\text{Rd}K$. Eine St"utzhyperebene
in $x_0$ von $K$ ist eine Hyperebene $L$ mit $x_0\in L$, $L=\text{Rd}H$ eines
Halbraumes $H$ mit $K\subseteq H$. \\
Eine abgeschlossene konvexe Menge besitzt in jedem Randpunkt eine St"utzhyperebene. \\
Wenn $\lambda$ Eigenwert von $f$ und $\lambda\in\text{Rd}W(f)$, dann ist
$E_\lambda(f)=E_{\overline{\lambda}}(f^\ast)$. (Wenn $E_\lambda(f)=
E_{\overline{\lambda}} (f^\ast)$, dann ist $E_\lambda(f)^\perp$ $f$-invariant)
\end{type}

%=====================================
\section{Quadratische Formen}
%=====================================

%----------------------------------
\subsection{Bilinearformen und Quadratische Formen}
%----------------------------------
Es sei $\Phi:V\times V\rightarrow K$ eine Bilinearform, wobei $V$ ein VR
"uber K"orper $K$ ist und $\dim V=n<\infty$. Dann ist $Q(v):=\Phi(v,v)$ die
zu $\Phi$ geh"orige \textbf{quadratische Form}. \\
Wenn in $K$ $1+1\neq0$ gilt, dann gibt es zu jeder quadratischen Form
$Q:V\rightarrow K$ genau eine symmetrische Bilinearform $\Psi:V\times
V\rightarrow K$ mit $Q(v)=\Psi(v,v)$. \\
Man kann $Q$ aus $\Phi$ zur"uckgewinnen, wenn $\Phi$ eine symmetrische
Bilinearform ist. Dann ist n"amlich
$$\Phi(v,w)=\frac{1}{2}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w))\quad\text{, falls }1+1\neq0\text{
in }K$$

%----------------------------------
\subsection{Klassifikation der symmetrischen Bilinearformen}
%----------------------------------
\begin{type}
\item[Primk"orper]
$K$ beliebiger K"orper. $K_0=\{m\cdot 1\mid m\in\mathbb{Z}\}$, also $m\cdot
1:=1+1+\ldots+1$. \\
Sei $p\in\mathbb{N}$ die kleinste nat"urliche Zahl mit $p\cdot 1=0$ und
$$m\cdot 1=(u\cdot p+r)\cdot 1=up\cdot 1+r\cdot 1=r\cdot 1\quad \forall u\in\mathbb{Z},
0\leq r<p$$
d.h. $K_0=\{0,1,1+1,\ldots,(p-1)\cdot 1\}\quad\mid K_0\mid=p$.

\item[Charakteristik]
Es ist $p=$Charakteristik von $K$. Wenn $m\cdot 1\neq0$ f"ur alle $m\in
\mathbb{N}$, dann nennt man $0:=$char$K$. \\
char$\mathbb{Q}$, char$\mathbb{R}$, char$\mathbb{C}$, $\ldots=0$.\\
char$\mathbb{F}_p=p$, wobei $\mathbb{F}_p$ der K"orper mit $p$ Elementen
bestehend aus allen Restklassen von ganzen Zahlen $\mod p$.
\begin{align*}
& \mathbb{F}_p=\{ \lbrack0\rbrack,\lbrack1\rbrack,\ldots,\lbrack
p-1\rbrack\} & \lbrack k\rbrack:=k+p\mathbb{Z} \\
& \mathbb{F}_p\rightarrow K & \lbrack k\rbrack\mapsto k\cdot 1\text{ liefert
einen Isomorphismus:}\\
& \mathbb{F}_p\rightarrowtail K_0 & \text{(Bijektion, vertr"aglich mit +
und }\cdot)
\end{align*}
$K_0$ ist Unterk"orper von $K$:
\begin{align*}
(m\cdot 1)\pm(n\cdot 1) &=(m\pm n)\cdot 1\\
(m\cdot 1)\cdot(n\cdot 1)&=(m\cdot n)\cdot 1
\end{align*}
Zu einer symmetrischen Bilinearform $\Phi:V\times V\rightarrow K$ gibt es
immer eine Basis $v_1,\ldots,v_n$ von $V$ mit $\Phi(v_i,v_j)=0$ f"ur $i\neq
j$. \\
Also: Ist ein K"orper mit char$K\neq2$, dann gibt es zu jeder quadratischen
Form $Q:V\rightarrow K$ eine Basis $v_1,\ldots,v_n$, so dass $Q$
beschrieben wird als
\begin{align*}
v=\Sigma_{i=1}^n\alpha_i v_i && Q(v)=\Sigma_{i=1}^n d_i\alpha_i^2
\end{align*}
wobei $d_i:=Q(v_i)$. \\

\item[Eigenschaften]
\begin{enumerate}
\item "Uber $\mathbb{C}$ gibt es zu jeder quadratischen Form
$Q:V\rightarrow\mathbb{C}$ eine Basis $v_1,\ldots,v_n$ mit $v=\Sigma
\alpha_i v_i\rightarrow Q(v)=\Sigma_{i=1}^r\alpha_i^2\quad(0\leq r\leq n)$.
\item $K=\mathbb{R}\quad$ In $\mathbb{R}$ sind alle $r>0$ Quadrate und alle
$r<0$ Nichtquadrate. Und jedes Nichtquadrat $a\in\mathbb{R}$ ist
$a=(-1)\cdot b$ 
$$\Phi(v_i,v_j)=\underbrace{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_r}_{>0},
\underbrace{\alpha_{r+1},\ldots,\alpha_{r+s}}_{<0},0,\ldots,0$$
mit geeigneten Quadraten multipliziert.
$$\underbrace{1,\ldots,1}_r,\underbrace{-1,\ldots,-1}_s,0,\ldots,0$$
"Uber $K=\mathbb{R}$ gibt es also eine Basis $v_1,\ldots,v_n$ in $V$, so
dass $V=\Sigma_{i=1}^{n}\alpha_i v_i$ und $Q(v)=\Sigma_{i=1}^r\alpha_i^2-
\Sigma_{i=r+1}^{r+s}\alpha_i^2$
\item $K=\mathbb{Q}\quad$ Jede rat. Zahl $a>0$ hat eine eindeutige
"`\textbf{Primfaktorzerlegung}"� $a=p_1\cdot\ldots\cdot p_k$
mit $m_1$ mal $p_1$ $\ldots$ $m_k$-mal $p_k$ wobei die $p_i$
paarweise verschiedene Primzahlen sind und $m_i\in\mathbb{Z}$. \\
$a$ ist genau dann ein Quadrat, wenn alle $m_i$ gerade sind. Jedes $a>0$ hat
also eine Zerlegung:
$$a=b^2\cdot q_1\ldots\cdot q_l,$$
wobei die $q_j$ diejenigen $p_i$ in der Primfaktorenzerlegung sind, die 
ungerades $m_i$ haben. \\
Sei also $S=\{p_1 p_2\ldots p_k\mid p_i\neq p_j\text{ prim},i\neq j\}$
"`quadratfreie Zahlen"� mit $1\in S$ und $k\geq 0$. Dann ist jedes
$a\in\mathbb{Q}$ auf eindeutige Weise darstellbar als $a=\pm b^2\cdot s$
mit $s\in S$.
\item Sei $K$ ein endlicher K"orper, $K_0\leq K$ und $K_0=\{ m\cdot 1\mid
m\in\mathbb{Z}\}$ mit $\mid K_0\mid =p$ "`\textbf{Primfaktor}"�. \\
$K$ kann man als Vektorraum "uber $K_0$ auffassen. $\mid K\mid<\infty
\Rightarrow\dim_{K_0}K=n<\infty$. $K\cong_{VR}K_o^n$ also $\mid
K\mid=p^n$. \\
Sei $\varphi:K\rightarrow K$, $\varphi(a)=a^2$. \\
Ist $\varphi$ injektiv? $\varphi(a)=\varphi(b)$, d.h. $a^2=b^2$:
$$ a=\pm b \Leftarrow
\begin{cases}
a^2-b^2=0 \\
(a-b)(a+b)=0
\end{cases}$$
Wenn char$K=2$, dann ist $\varphi$ injektiv, surjektiv und jedes Element
ein Quadrat. \\
Es gilt char$K=p>2$ und $a\neq -a$ f"ur alle $a\neq0$. $\varphi$ wirft je 2
Elemente auf ein und dasselbe $\Rightarrow$ in $K$ gibt es genau
$\frac{p^n -1}{2}$ Quadrate $\neq 0$ und $\frac{p^n -1}{2}$ Nichtquadrate
$\neq 0$. \\
Sei $\varepsilon\in K$ Nichtquadrat $\Rightarrow$ $a^2\cdot\varepsilon$
auch Nichtquadrat ($a^2\varepsilon=b^2\Rightarrow\varepsilon=(a^{-1}b)^2$).
\end{enumerate}

\item[Corollar]
In jeder "Aquivalenzklassen von $\mathbb{M}_n(\mathbb{C})$ gibt es eine
Matrix der Form $\begin{pmatrix}E_r & \vline & 0 \\ \hline 0 & \vline & 0 
\end{pmatrix}$. Zwei solche Matrizen sind in"aquivalent, denn bei der
Transformation $A\mapsto T^t AT$ bleibt der Rang unver"andert (wenn $T$
regul"ar, dann Rang$A$=Rang$AT$ etc.). Rang$\begin{pmatrix} E_r & \vline &
0 \\ \hline 0 & \vline & 0 \end{pmatrix}=r$.

\item[Satz]
Der Rang der Gramschen Matrix von $\Phi$ ist unabh"angig von der Basiswahl,
und "uber $\mathbb{C}$ gibt es zu jedem $r=0,1,\ldots,n$ genau eine
symmetrische Bilinearform vom Rang $r$ - bis auf "Aquivalenz. \\
Jede Matrix $A\in\mathbb{M}_n(\mathbb{R})$ ist also "aquivalent zu einer
Matrix der Form $\begin{pmatrix} E_t & \vline & 0 & \vline & 0 \\ \hline 0 &
\vline & -E_{r-t} & \vline & 0 \\ \hline 0 & \vline & 0 & \vline & 0
\end{pmatrix}$.

\item[Tr"agheitssatz von Sylvester]
Der Tr"agheitsindex $t$ ist durch $\Phi$ eindeutig bestimmt (unabh. von der
Basis $v_1,\ldots,v_n$), wobei $r$ der Rang$\Phi$ ist. \\
Wir wissen, dass jede symmetrische Matrix $A\in\mathbb{M}_n(\mathbb{R})$ ist
orthogonal diagonalisierbar, d.h. $\exists U\in O(n)$ mit
$U^{-1}AU=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n
\end{pmatrix}$, $\lambda_i\in\mathbb{R}$, $U^{-1}=U(t)$ mit
Tr"agheitsindex=Anzahl $i$ mit $\lambda_i>0$.

\item[Corollar]
Wenn $B=T^t AT$ mit $T\in GL_n(\mathbb{R})$, dann haben $A$ und $B$
gleichviel pos. Eigenwerte (mit Vielfachheit zu z"ahlen).

\item[Definitheiten]
$\Phi:V\times V\rightarrow\mathbb{R}$ heisst:
\begin{itemize}
\item Positiv definit: $r(\Phi)=n$, $t(\Phi)=n$
\item Negativ definit: $r(\Phi)=n$, $t(\Phi)=0$
\item Positiv semidefinit: $r(\Phi)<n$, $t(\Phi)=r(\Phi)$
\item Negativ semidefinit: $r(\Phi)<n$, $t(\Phi)=0$
\item Indefinit: $t(\Phi)\neq 0$, $t(\Phi)\neq r(\Phi)$
\end{itemize}

\end{type}

%----------------------------------
\subsection{Bilinearformen in einem Euklidischen Vektorraum}
%----------------------------------
Es sei $K=\mathbb{R}$ und $V$ ein VR "uber $\mathbb{R}$ versehen mit
Skalarprodukt $\dim_{\mathbb{R}} V=n<\infty$. \\
Sei $\Phi:V\times V\rightarrow \mathbb{R}$ bilinear und sei $v\in V$
gegeben mit $f_v=\Phi(-,v):V\rightarrow\mathbb{R}$ linear ("`\textbf{lineares
Funktional}"�). Zu jedem linearen Funktional $f:V\rightarrow\mathbb{R}$
gibt es einen eindeutig bestimmtes $v'\in V$ mit $f=(-,v')$ und
$V\rightarrow\mathbb{R}$. Zu $v\in V$ gibt es also ein eindeutig bestimmtes
$v'\in V$ mit $\Phi(-,v'):V\rightarrow\mathbb{R}$. \\
Damit wird die Abbildung $g:V\rightarrow V$, $g(v)=v'$ definiert, so dass
gilt
$$\Phi(w,v)=\left(w,g(v)\right)\quad\forall v,w\in V$$
Es gilt:
\begin{enumerate}
\item $g:V\rightarrow V$ ist linear
\item $g$ ist selbstadjungiert $\Leftrightarrow$ $\Phi$ ist symmetrisch
\end{enumerate}

\begin{type}
\item[Hauptachsentransformation]
In einem Euklidischen Vektorraum $V$, $\dim V=n<\infty$ gibt es zu jeder
symmetrischen Bilinearform $\Phi:V\times V\rightarrow\mathbb{R}$ eine
orthonormale Basis $e_1,\ldots,e_n$ mit
$\Phi(e_i,e_j)=\delta_{ij}\lambda_j$ mit $\lambda_j\in\mathbb{R}$ (EW von
$g$)

\item[Corollar]
In einem reellen Vektorraum kann man zu zwei quadratischen Formen
$Q_1:V\rightarrow\mathbb{R}$, $Q_2:V\rightarrow\mathbb{R}$, von denen $Q_1$
positiv definit ist, eine Basis finden, so dass $Q_1$ und $Q_2$
"`\textbf{simultan-diagonal}"� sind, d.h. $Q_1(v)=\Sigma\alpha_i^2$,
$Q_2(v)=\Sigma\lambda_i\alpha_i^2$, $v=\Sigma\alpha_i v_i$.
\end{type}

%----------------------------------
\subsection{Fl"achen zweiter Ordnung im affinen Raum}
%----------------------------------
Ein affiner Raum $\mathbb{A}$ ist eine Menge $\mathbb{A}$ zusammen mit
einem $K$-Vektorraum $V$ und einer Abbildung
$\mathbb{A}\times\mathbb{A}\overrightarrow V:(P,Q)\mapsto\overline{PQ}\in V$, so
dass gilt
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}$ f"ur
alle $P,Q,R$
\item F"ur jedes feste $P\in\mathbb{A}$ ist $\mathbb{A}\rightarrow
V:Q\mapsto\overrightarrow{PQ}$ eine Bijektion.
\end{enumerate}

\begin{type}
\item[Koordinatensystem]
Ein Koordinatensystem ist definiert durch
\begin{itemize}
\item Wahl eines Basispunktes $0\in\mathbb{A}$
\item Wahl einer Basis $v_q,\ldots,v_n$ von $V$

\end{itemize}
\item[Fl"ache 2. Ordnung]
$F\subseteq\mathbb{A}$ heisst Fl"ache 2. Ordnung, wenn $F$ gegeben ist
durch eine symmetrische Matrix $A\in\mathbb{M}_n(K)$, $\underline{b}\in
K^n$ und ein $c\in K$, so dass die Koordinaten der Punkte in $F$
$\underbrace{\underline{x}^tA\underline{x}}_{Q(\underline{x},\underline{y})}
=2\underline{b}^ t\underline{x}+c=0$ erf"ullen. \\
Diese Definition h"angt nicht ab von einem speziellen Koordinatensystem.
\end{type}

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\section{Etwas multilineare Algebra}
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%----------------------------------
\subsection{Induzierte Abbildungen}
%----------------------------------

Es seien $v,w$ $K$-Vektorr"aume. Hom$(W,W)=\{f:V\rightarrow W\mid f\text{
linear}\}$. $f,g\in\text{Hom}(V,W)$ ist ein $K$-Vektorraum.
$$(f+g)(v):=f(v)+g(v),\qquad (\alpha\cdot f)(v):=\alpha f(v)$$
ist $\varphi:W\rightarrow W'$, dann induziert $\varphi$ eine Abb.
$\varphi_\ast:\text{Hom}(V,W)\rightarrow\text{Hom}(V,W')$, so da"s
$\varphi_\ast(f)=\varphi\circ f$ und damit $V \underrightarrow{f} W 
\underrightarrow{\varphi}W'$, wobei $V\underrightarrow{\varphi_\ast(f)}W'$.
\\
Nach Basiswahl $\varphi\leftrightsquigarrow\Phi\in\mathbb{M}_{n,m}(K)$,
$f\rightsquigarrow A\in\mathbb{M}_{mk}(K)$ mit
$\varphi_\ast:A\rightsquigarrow\Phi A$. Es herrscht Linearit"at:
$\Phi(\alpha A+\beta B)=\alpha\Phi A+\beta\Phi B$. \\
Analog induziert $\varphi:V'\rightarrow V$ eine lineare Abbildung und
$\varphi^\ast:\text{Hom}(V,W)\rightarrow\text{Hom}(V',W)$ mit
$\varphi^\ast(f)=f\circ\varphi$.

%----------------------------------
\subsection{Der Dualraum}
%----------------------------------

Spezialfall $W=K$, $V^\ast=\text{Hom}(V,K)$. Eine lineare Abbildung
$f:V\rightarrow K$ heisst auch \textbf{"`Linearform"�} oder
\textbf{"`Lineares Funktional"�}.
$V^\ast$ ist der zu $V$ duale Vektorraum. \\
Jede lineare Abbildung $\varphi:V\rightarrow W$ induziert eine lineare
Abbildung $\varphi^\ast:W^\ast\rightarrow V^\ast$.

\begin{type}
\item[Evalutaionsabbildung]
$\Phi:V^\ast\times V\rightarrow K$ mit $\phi(f,v):=f(v)$ und $v\in V, f\in
V^\ast$. $\Phi$ ist bilinear. \\
Jede bilineare Abbildung $\varphi:W\times V\rightarrow K$ (Bilinearform)
liefert 2 lineare Abbildungen
\begin{center} $\begin{matrix}
\Psi_1:W\rightarrow V^\ast & \Psi_1(w):=\Psi(w,-):V\rightarrow K \\
\Psi_2:V\rightarrow W^\ast & \Psi_2(v):=\Psi(-,v):W\rightarrow K
\end{matrix}$ \end{center}

\item[Nicht ausgeartet]
$\Psi$ heisst nicht ausgeartet, wenn $\Psi_1,\Psi_2$ injektiv sind. \\
Wenn $\dim V,\dim W$ endlich sind, dann folgt aus "`nicht ausgeartet"�,
dass $\Psi_1,\Psi_2$ Isomorphismen sind. Wenn $\dim V$ endlich ist, dann ist $\dim V^\ast=\dim V$.

\item[Duale Basis]
$f_1,\ldots,f_n$ heisst die zu $v_1,\ldots,v_n$ duale Basis.

\item[Satz]
Die Evaluationsabbildung $\Phi:V^\ast\times V\rightarrow K$ ist eine
nicht ausgeartete Bilinearform. \\
Ist $\dim V,\dim W$ endlich und $\Psi:W\times V\rightarrow K$ eine beliebige
nicht ausgeartete Bilinearform, dann ist $\Psi_1:W\rightarrowtail V^\ast$
ein Isomorphismus. \\
Wenn $\dim V<\infty$ ist, dann ist $\Phi_2:V\rightarrow V^{\ast\ast}$ ein
Isomorphismus ($\Phi_1=Id_{V^\ast}$). ($\Phi_2$ ist kanonischer
Isomorphismus - im Gegensatz zu $V\cong V^\ast$).
\end{type}

%----------------------------------
\subsection{Dualit"at}
%----------------------------------
Sei $V$ ein Vektorraum "uber $K$. $V^\ast=\text{Hom}(V,K)$.
$\varphi:V\rightarrow V'$ induziert eine lineare Abbildung
$\varphi^\ast:(V')^\ast\rightarrow V^\ast$. Es ist $U\leq V
\rightsquigarrow U^\perp=\{f\in V^\ast\mid f(U)=0\}$. \\
Diese Abbildung besitzt die folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item $U^\perp$ ist Unterraum von $V^\ast$
\item $U_1\subseteq U_2\quad\Rightarrow\quad U_1^\perp\supseteq U_2^\perp$
\item $(U_1+U_2)^\perp = U_1^\perp\cap U_2^\perp$
\item $(U_1+U_2)^\perp\subseteq (U_1\cap U_2)^\perp$
\end{enumerate}
Ist $\dim V<\infty$, dann sogar $U_1^\perp +U_2^\perp=(U_1\cap U_2)^\perp$.\\
Ist $\dim V<\infty$, dann gilt f"ur alle Unterr"aume $U\leq V$:
$$\dim U+\dim U^\perp =\dim V$$
F"ur $W\leq V^\ast$ setze $W^T=\{ v\in V\mid f(v)=0\quad\forall f\in W\}$
(anti-orthogonal) mit $\Phi:V^\ast\times V\rightarrow K:\Phi(f,v)=f(v)$:
\begin{enumerate}
\item $W^T$ ist Unterraum von $V$
\item $W_1\subseteq W_2 \quad\Rightarrow\quad W_1^T\supseteq W_2^T$
\item $(W_1+W_2)^T=W_1^T\cap W_2^T$, so dass gilt 
$$v\in(W_1+W_2)^T\;\Leftrightarrow\; f(v)=0\quad\forall f\in
W_1+W_2\;\Leftrightarrow f_1(v)=0,f_2(v)=0\quad\forall f_1\in W_1,f_2\in W_2$$
\item $W_1^T+W_2^T\subseteq(W_1\cap W_2)^T$
\end{enumerate}
Ist $\dim V<\infty$, dann gilt sogar: $W_1^T+W_2^T=(W_1\cap W_2)^T$.\\
Ist $\dim V<\infty$, dann gilt f"ur alle $U\leq V$ und alle $W\leq V^\ast$,
dass $(U^\perp)^T=U$ und $(W^T)^\perp=W$. \\
$\varphi:V\rightarrow V$ linear $\rightsquigarrow$
$\varphi^\ast:{V'}^\ast\rightarrow V^\ast$ mit
\begin{itemize}
\item $\varphi$ injektiv $\Rightarrow$ $\varphi^\ast$ surjektiv
\item $\varphi$ surjektiv $\Rightarrow$ $\varphi^\ast$ injektiv
\end{itemize}
$(U^\perp)T=U$ gilt auch f"ur $\dim V=\infty$

%----------------------------------
\subsection{Tensorprodukt}
%----------------------------------
Sei $\beta:V\times W\rightarrow X$ eine bilineare Abbildung, $V,W,X$
$K$-VR. \\
Ist $\varphi:X\rightarrow Y$ eine lineare Abbildung, dann ist
$\varphi\circ\beta:V\times W\rightarrow X\rightarrow Y$ wieder bilinear. \\
Problem: Gibt es universelle bilineare Abb. $V\times W\rightarrow
T\rightarrow X$?

\begin{type}
\item[Tensorprodukt]
Das Tensorprodukt der Vektorr"aume $V,W$ ist ein Vektorram $T$ zusammen mit
einer bilinearen Abbildung $\tau:V\times W\rightarrow T$, so dass gilt: \\
Zu jeder bilinearen Abb. $\beta:V\times W\rightarrow X$ gibt es genau eine
lineare Abb. $\varphi:T\rightarrow X$ mit $\beta=\varphi\circ\tau$. \\
Das Tensorprodukt $(T,\tau)$ existiert und ist bis auf nat"urliche
"Aquivalenz eindeutig.
\end{type}

%----------------------------------
\subsection{"Aussere Potenzen}
%----------------------------------
Sei $V\otimes V=$"`Tensorquadrat"� mit $\tau:V\times V\rightarrow V\otimes V$
und $U=\text{span}(v\otimes v\mid v\in V)$, wobei $V\wedge V:=V\oplus V/U$.
Beobachtungen:
\begin{enumerate}
\item $\alpha:V\times V \underrightarrow{\tau} V\otimes
V\underrightarrow{\pi}V\wedge V$ mit $\pi$=kan. Projektion. \\
$\alpha:V\times B\rightarrow V\wedge V\qquad\alpha=\pi\tau$ bilinear!
\item $v,w\in V\qquad\alpha(v,w)=v\wedge W$ \\
$v\wedge W$ ist der von $v\otimes w$ repr"asentierte affine UR von $V\otimes
V$ zu $U$ und es gilt:
\begin{itemize}
\item $(v+v')\wedge w=v\wedge w+v'\wedge w$
\item $v\wedge(w+w')=v\wedge w+v\wedge w'$
\item $k\cdot v)\wedge w=k(v\wedge w)=v\wedge kw\quad\forall k\in K$
\end{itemize}
\end{enumerate}

\begin{type}
\item[Alternierend]
Sei $\beta:V\times V\rightarrow W$ bilinear. $\beta$ heisst alternierend,
wenn $\beta(v,v)=0\quad\forall v\in V$.\\
Also gibt es zu jeder alterniernden bilinearen Abb. $\beta:V\times
V\rightarrow W$ genau eine lineare Abb. $\Psi:V\wedge V\rightarrow W$ mit
$\Psi\alpha=\beta$.

\item[$p$-te "Aussere Potenz]
$\wedge^p V:=\otimes^p V/U$ mit 
$$U:=\text{span}\{v_1\otimes v_2\otimes\ldots\otimes v_p\mid v_i\in
V,\exists\text{Paar }i\neq j\text{ mit }v_i=v_j\}$$
und $v_1\wedge v_2\wedge\ldots\wedge v_p:=\pi(v_1\otimes\ldots\otimes
v_p)$.

\item[Alternierende "aussere Potenz]
$\beta:V^p\rightarrow W$ heisst alternierend, wenn $\beta$ $p$-linear ist
und $\beta(v_1,\ldots,v_p)=0$, wenn $v_i=v_j$ f"ur ein $i\neq j$. \\
Zu jeder alternierenden Abbildung $\beta:V^p\rightarrow W$ gibt es genau
eine lineare Abbildung $\Psi:\wedge^pV\rightarrow W$ mit
$\alpha:V\rightarrow\wedge^p V$.

\item[Satz]
Wenn $e_1,\ldots,e_n$ eine Basis von $V$ ist, dann ist
$\{e_{i_1}\wedge\ldots\wedge e_{i_p}\mid1\leq i_1<i_2<\ldots<i_p\leq n\}$
eine Basis von $\wedge^p W$. Insbesondere gilt:
$$p>n\;\Rightarrow\;\wedge^p V=0\qquad p=n\;\Rightarrow\;\wedge^n V\cong
K$$

\item[Dimension der "ausseren Potenz]
$p=0,\quad\wedge^0 V:=K,\quad\dim\wedge^p V=\binom{n}{p}$

\item[Algebra]
Ein Vektorraum $A$, der auch ein Ring (meist mit $1\in A$) ist, wobei die
Ringmult. bilinear ist: $K\rightarrowtail A:k\mapsto k\cdot 1$ ($K$
erscheint als Unterk"orper der Algebra $A$).

\item[Produkt]
$(V_1\wedge\ldots\wedge v_p)\cdot(w_1\wedge\ldots\wedge
w_q):=v_1\wedge\ldots\wedge v_p\wedge w_1\wedge\ldots\wedge w_q$ ($=0$,
falls $p+q>n$)\\
$v_1,\ldots,v_p\in V$ ist linear unabh. $\Leftrightarrow$
$v_1\wedge\ldots\wedge v_p\neq 0$

\item[Satz]
Ausser $\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$ gibt es keine weiteren
endlichdimensionalen Divisionsalgebren "uber $\mathbb{R}$.
\end{type}


%=====================================
\section{Fragen}
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\subsection{Lineare Algebra II}
\begin{itemize}
\item Normalformen von Matrizen
\item K"orper mit 9 Elementen
\item Elementare Zeilen-/Spalten-Transformationen $\rightarrow$
Elementarmatrizen (wie sehen die aus) $\rightarrow$ diagonalmatrizen als
Repr"asentanten f"ur bel. Matrizen, wenn Zeilen-/Spalten-Transformationen
zugelassen (anmultiplizieren von Elementarmatrizen von rehts bzw. links)
\item Matrizen von HOM($V,W$) im Vergleich zu Matrizen in END($V$)
\item Zusammenhang hom. und inhomogene lineare Gleichungssysteme?
(Affine Unterr"aume)
\item Was bedeutet die Unl"osbarkeit eines linearen Gleichungssystems
geometrisch gesehen? (Bsp. 2 Gleichungen mit $n$ Unbekannten)
\item Dimension eines Vektorraums? (dim$V=n$ gibt es $n+1$ lin. unabh.
Vektoren? Wie ermittels man lin. unabh. Vektoren? Rangbestimmung durch
elementare Zeilenumformungen? Zeilenrang=Spaltenrang? Ist die Determinante
geeignet zur Rangbestimmung gro"ser Matrizen?)
\item Skalarprodukt: Definition + wof"ur gut, Existenz, auch im Komplexen
\item Definition: $\cos\varphi=\frac{<x,y>}{\| x\| \| y\|}$
\item Cauchy-Schwarz: $-1\leq\cos\leq1$
\item Unter welcher Abbildung bleibt das Skalarprodukt erhalten? (d.h.
Winkel und L"angen: Orthogonale Abbildungen, mit orthogonalen Matrizen,
det$A=1$, Spaltenvektoren alle normiert und senkrecht, d.h. Skalarprodukt
ist 0)
\item Eigenwerte, -vektoren
\item Charakteristisches Polynom (Herleitung des Zusammenhangs)
\item Diagonalsierbarkeit, Triagonalisierbarkeit?
\item Beispiel: Endomorphismus ohne Eigenwert (Drehung im $\mathbb{R}^2$)
\item Definition: Affiner Raum
\item Zusammenhang mit linearen Gleichungssystemen (Bsp. $x+y+z=1$ und
$x+y+z=2$ - geometrische Erkl"arung)
\item Projektive Geometrie?
\item Euklidische Geometrie? (Skalarprodukt, gemoetrische Bedeutung,
Cauchy-Schwarz)
\item Orthogonale (unit"are) Endomorphismen?
\end{itemize}

\subsection{Algebra und Zahlentheorie}
\begin{itemize}
\item Beweis: $G$ abelsch und einfach $\Rightarrow$ $G\cong \mathbb{Z}_p$ \\
(Jede zyklische UG ist in Abelschen Gruppen NT $\Rightarrow$ $G$ ist
zyklisch, weil nur die NT $e,G$)
\item Beweis: $G$ einfache $p$-Gruppe $\Rightarrow$ $G\cong \mathbb{Z}_p$
($p$-Gruppen haben nicht-triviales Zentrum $\Rightarrow$ $G=Z(G)$, weil
$Z(G)$ Normalteiler.
\item Beweis: $p$-Gruppen haben nicht-triviales Zentrum
\item Wie lauten die Sylow-S"atze? (Beweisidee)
\item Was ist die Sylow-2-UG der $S_5$?
\item Eine $p$-Gruppe operiert auf einer Menge und l"a"st ein Element
fest. Wie zeigt man, dass noch mindestens ein anderes Element festgelassen
wird?
\item Struktursatz f"ur endlich erzeugte Module "uber Hauptidealringen
\item Wie sehen halbeinfache $\mathbb{Z}$-Moduln aus? (Jede ablesche
Gruppe ist $\mathbb{Z}$-Modul, einfach sind die $\mathbb{Z}_p$ mit $p$
primt, also sind halbeinfach $H=\mathbb{Z}_{p_1}\oplus \mathbb{Z}_{p_2}
\oplus\ldots$. Bei endlich vielen direkten Summanden ist $H\cong
\mathbb{Z}_{p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_n}$, bei unendlich vielen
ist $H$ nicht zyklisch.)
\item Definition, Beispiele: $p$-Gruppen, nicht-kommutative $p$-Gruppe,
Symmetriegruppe des Quadrats mit Ordnung 8, Kommutativit"at in
$p$-Gruppen
\item Konstruktion von K"orpern durch $^{k\lbrack x\rbrack} / _{k\lbrack x\rbrack f(x)}$,
mit $f(x)$ Minimalpolynom (warum sind das K"orper? MIR $K\lbrack x\rbrack$
$\Rightarrow$ Primideal $k\lbrack x\rbrack f(x)$ ist maximal)
\item Endlichen K"orper als Grundk"orper nehmen $\mathbb{F}_3$ und
Minimalpolynom $f(x)\in \mathbb{F}_3\lbrack x\rbrack$ finden mit Grad 2 (Grad
der K"orpererweiterung $\widehat{=}$ Grad des Minimalpolynoms)
\item Wieso gibt es in endlichen K"orpern zu jedem Grad irreduzible
Polynome?
\item Primzahlen in Ringen?
\item Definition: Primideal
\item Beweis: $P$ Primideal $\Leftrightarrow$ $\frac{R}{P}$ Integral
\item Kann man in allen Ringen Primzahlen einf"uhren? (Bsp. Euklidische
Ringen (Def.), sonst?)
\item Isomorphies"atze
\item Multiplikative Funktionen
\item Eulersche $\varphi$-Funktion
\item Chinesische Restsatz
\item Unendlichkeit von $\mathbb{P}$ mit Beweis (Euklid)
\item Primzahlen in Ringen
\item Restklassenk"orper $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}_p$, warum nur f"ur
Primzahlen?
\item Definition: Addition/Multiplikation in $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}_p$?
(Wohldefiniertheit, quadrat. Reste)
\item Hat $x\equiv 3(17)$ L"osung?
\item Definition: Legendre-Symbol?
\item Definition: Quadratisches Reziprozit"atsgesetz
\end{itemize}
\end{document}
